فبالاعتبار الأول إمّا مختلف الأضلاع وهو الذي لا يكون أحد من أضلاعه أي من خطوطه المستقيمة مساويا للآخر، وإمّا متساوي الأضلاع وهو الذي أضلاعه جميعها متساوية أي لا يكون بعضها أزيد من بعض آخر، وإمّا متساوي الساقين وهو الذي يتساوى ضلعاه فقط.
وبالاعتبار الثاني إمّا قائم الزاوية وهو الذي يوجد فيه قائمة وإمّا منفرج الزاوية وهو الذي يوجد فيه منفرجة وإمّا حاد الزوايا وهو الذي لا يوجد فيه قائمة ولا منفرجة بل تكون جميع زواياه حادّة والحصر في التقسيم الأول واضح.
وأما في التقسيم الثاني فلأنّ المثلث لا بدّ أن تكون زواياه الثلاث مساوية لقائمتين على ما ثبت في علم الهندسة، فلا يمكن أن يكون فيه أزيد من قائمة ولا منفرجة كما لا يخفى. وإذا ضرب عدد أقسام التقسيم الأول في عدد أقسام التقسيم الثاني يحصل تسعة أقسام، ولكن الاثنين منها ممتنعان وقوعا وهما المتساوي الأضلاع القائم الزاوية أو منفرجها، فالأقسام الممكنة الوقوع سبعة، هكذا يستفاد من شرح أشكال التأسيس وشرح خلاصة الحساب.
فائدة:
كلّ ضلع من أضلاع المثلّث بالنسبة إلى الضلعين الآخرين يسمّى قاعدة المثلّث والضلعان الآخران بالنسبة إليها أي إلى القاعدة يسمّيان بالساقين، والزاوية التي بين الساقين تسمّى رأس المثلّث. ومثلّث المخمّس عندهم على ما وقع في تحرير أقليدس هو المثلّث المتساوي الساقين الذي يكون كلّ واحدة من زاويتي قاعدته مثلي زاوية رأسه أي ضعف زاوية رأسه. وعند المنجّمين هو المرفوع ثلاث مرات وسيجيء.
ويطلق المثلثة عندهم أيضا على ثلاثة بروج متحدة في الطبيعة. فالحمل والأسد والقوس مثلثة نارية لكونها على طبيعة النار. والثور والسّنبلة والجدي مثلثة أرضية لكونها على طبيعة الأرض. والجوزاء والميزان والدلو مثلثة هوائية لكونها على طبع الهواء. والسّرطان والعقرب والحوت مثلثة مائية لكونها على طبع الماء، وكلّ منها منسوبة إلى كوكب ويسمّى ذلك الكوكب بربّ تلك المثلثة. وأرباب المثلثتين النارية والهوائية هي الكواكب المذكرة من
٢ / ١٤٥٣